From geo@sky.kuban.ru Wed Jun 30 18:34:37 1999
Newsgroups: relcom.sci.philosophy
Subject: Re: Релятивистское распределение Максвелла
From: "Georgiy Zaretskiy"
Date: 30 Jun 1999 13:34:37 +0400
--------
Eugine V. Kosenko"
под темой [NEWS] Релятивистское распределение Максвелла
29 Jun 1999 07:44:00 +0300 wrote ...
>
> Откуда взялось само распределение, я с трудом вспоминаю. В
> справочнике сказано предельно ясно: "С помощью теории вероятностей
> Максвеллу удалось вывести формулу..." И ни слова про распределение
> Гиббса, из которого, насколько я помню, распределение Максвелла
> получается при дополнительных условиях.
Действительно Максвелл обошелся без распределения Гиббса.
Тогда об общности распределния Гиббса никто не думал. Да и самого
Гиббса особенно в науке не знали. Кажется уже после смерти Гиббса
была оценена его маленькая работа по статистическоим распределениям.
А за подробноятями надо в историю вопроса "нырять".
>
> Само распределение Гиббса, насколько я помню, имеет
> термодинамическое происхождение.
Вроде по сути дела, Вы, Евгений правы.
Потому что есть два вариационных принципа Гиббса, исходя
из которых он, действительно и вывел свое распределение,
оказавщееся таким общим для функций распределения не зависящих
от времени. Но чего-то я сомневаюсь в форме. Дело в том, что
введение такого нового понятия как функция распределения,
которого не было ни в мехакнике, ни в термодинамике, в общем-то
не позволяет говорить от происхождении с такой неотвратимостью.
То есть на лицо новое понятие, и в какой степени оно действительно
термодинамическое, а в какой нет, и как будет определять меру
связанности с термодинамикой, а следовательно и возможность
вести о корнях распределения, мне пока не очень ясно.
> И это естественно, потому иначе
> не объяснишь, откуда в статистику пролез такой термодинамический
> параметр, как температура.
Да температура оказалось очень сложным понятием.
Обычно температура обосновывается при статистической описании
газа через формулы для усреденной энергии движения частиц
идеального газа.
> В этом ракурсе весьма интересны замечания
> физиков о том, что термодинамика основана на статфизических
> рассуждениях. Очередной порочный круг от современной физики :(.
Не, не все так просто. Боголюбов (старший) в 1949 году
построил обоснование статистической механики из уравнений механики
Ньютона для системы частиц. По сути шаги состояли в написании
уравнения Лиувилля для совокупности частиц в фазовом пространстве.
Из уравнения Лиувилля была получена бесконечная зацепляющаяся
цепочка интегро-дифференциальных уравнений для многочастичных
функций распределения, которая потом получила
название цепочка уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирвуда-Ирвина -
цепочка уравнений ББГКИ. Все перечисленные ученые, в принципе
предлагали похожее, но наиболее последовательный вывод из механики
был предложен Боголюбовым. Потом аналогичный обоснование Боголюбов
сделал и для квантовых систем, предложив квантовый аналог
уравнения Лиувилля. Но так как цепочка уравнений бесконечная,
то решать ее "в лоб" не чуть не легче, чем решать само уравнение
Лиувилля, которое просто являлось иной формой записи системы
уравнений Ньютона для 10^23 частиц, да к тому же еще и взаимодействующих.
Поэтому цепочку уравнений ББГКИ надо было ограничить некоторым
количеством уравнений, то есть разомкнуть ее. Это делается при
введении дополнительных предположений со стороны относительно
вида функций распределения. Вот в такой процедуре получается
кинетическое уравнение Больцмана, когда сделаны предположения
что двухчастичную функцию распределения можно выразить
через комбинацию одночастичных. А после этого начинают "крутить"
уравнение Больцмана так и эдак. В том числе из него получают
и распределения Максвелла-Больцмана, как частный случай для
независимости функции распределения от времени непосредственно,
и знаменитую Н-теорему - обоснование энтропии из стат.физики.
Например, выражение для энергии можно обосновать и непосредственно
из самого уравнения Лиувилля, в частности точное уравние энергии,
о котором вел речь Сергей Кравчук, вернее его формальное выражение
можно получить из уравнения Лиувилля.
То есть обоснование конечно есть. Но так как в самой процедуре
обоснвания приходится постоянно применять дополнительные
предположения, то даже если и удается обосновать термодинамику
через статистическую физику, то все равно остается вопрос -
а что собственно было все-же обосновано. Я не стал бы говорить
что есть действительно порочный круг. Я скажу, что лично у меня
остается некий осадок неудовлетворенности от имеющих место
обоснованиях.
>
> Ну да вопрос сейчас не в этом. Вопрос в том, что распределение
> Максвелла -- классическое. То есть, согласно ему в любом, достаточно
> большом количестве частиц идеального газа существует некоторое, отличное
> от нуля число частиц, движущихся со сверхсветовой скоростью.
> Достаточно подставить в распределение Максвелла v=c (или, для не
> очень впечатлительных, даже v=2c) и какую-нибудь высокую
> температуру.
>
> А как распределение Максвелла выглядит в релятивистике?
Распределение Максвелла
-----------------------
1. Нерелятивистский случай
1 p^2
f (p) = --------------------- * exp(- ------------- )
(2*pi*m*k{b}*T)^(3/2) 2*m*k{b}*T
2. Релятивистский случай
c*sqrt(p^2+m^2*c^2)
f (p) = A*exp(- --------------------- )
k{b}*T
постоянная A определяется из условия нормировки
INT f(p) dp = 1
где pi = 3.1415926;
m - масса частиц, кг;
k{b} - постоянная Больцмана, Дж/К
T - температура, К;
p - импульс частиц; кг*м/с;
с - скорость света, м/с
f (p) - функция распределения;
sqrt - корень квадратный;
INT - интеграл;
{..} - обозначение нижнего индекса.
Приведенные функции распределения получаются в рамках
следующих предаоложений, которые делаются для некторой, более
общей функции f{N} = f{N}(X,a,E).
Рассмотрим по шагам логику, из которой можно получить
распределения Максвелла.
Определение функции распределения состояния системы
---------------------------------------------------
Шаг 1.
Определение 1. Определение функции распределение
------------- через ансамли Гиббса.
Функция f{N}(X,t) - это есть плотность распределения мик-
роскопических состояний систем ансамбля Гиббса в моммент вре-
мени t. Для функции справедливо условие нормировки
INT f{N}(X,t)dX = 1 или более подробно
INT f{N}(x{1},x{2},...x{N},t) dx{1}.....dx{N} = 1,
x{i} = (r{i}, p{i})
Индекс N у функции f{N} отмечает, что рассмтаривается
микроскопическая система, состоящая из N одинаковых частиц.
Шаг 2.
Определение 2. Равновесная функция распределения,
------------- то есть не зависящая от времени.
Для изолированной (замкнутой) системы или системы в
постоянном внешнем после состояние называется равновесным,
если функция распределения f{N}(X,t) не зависит от времени.
Естественно, что конкретный вид функции распределения за-
висит от внешних условий, в которых находится рассмтариваемая
система, или иными словами, от совокупности внешних парамет-
ров:
a = (a{1}, .....a{N})
Естественно, что конкретный фид функции распределения
f{N} рассматриваемой системы зависит от характера взаимо-
действия с окружающими телами. Наиболее важными явлются два
случая.
1. Рассматриваемая система энергетически изолирована от
окружающих тел. Это означает, что полная энергия всех частиц
системы (как кинетическая, так и потенциальная) не изменяется
со временем, т.е. равна некоторому постоянному значению E. Пр
этом функция распределения микросостояний зависит как от сово-
купности внешних параметров "a", так и от энергии E:
f{N} = f{N}(X,a,E)
Параметр E можно включить в число внешних параметров "a".
Выделение E подчеркивает особую роль, которую играет энергия
системы в статистической теории.
Условие изолированности системы при заданных внешних па-
раметрах можно, используя определение функции Гамильтона выра-
зить равенством
H(X,a) = E
В этом случае для функции распределения получают выраже-
ние, которое получило название микроканонического распределе-
ния Гиббса.
1
f{N}(X,a,E) = ---------- delta(H(X,a) -E)
omega(a,E)
где omega (a,E) - площадь гипреповерхности в фазовом
пространстве X, выделяемой условием посто-
янства энергии
delta (...) - дельта функция Дирака;
H(X,a) - аддитивный интеграл движения системы - энер-
гия.
Этот результат отвечает условию равноверочтности всех
возможных значений микросостояний, если значение энергии
системы фиксировано не точно, а некопредленностью d!E. То есть
вместо равенства выполняется неравенство
E <= H(X,a) <= E + d!E
Шаг 3.
Определение 3. Малость энергии взаимодействия с окружаю-
------------- щими телами. Ввод температуры.
2. Предположим, что рассматриваемая система незамкнута и,
следовательно, возможен обмен энергией с окружающей средой.
Состояние такой системы зависит от теплового движения в окру-
жающих телах. Поэтому нет оснований предполагать, что можно в
общем случае найти функцию распределения f{N}(X), котоаря за-
висит лишь от значений X рассматриваемой системы и не зависит
от обобщенных координат и импульсов частиц окружающих тел. Од-
нако это оказывается возможным, если энергия взаимодействия с
окружающими телами много меньше энергии рассмтариваемой систе-
мы H(X).
При этом условии функция распределения микросостояний за-
висит от средней интенсивности теплового движения окружающих
тел, которую характеризуют ТЕМПЕРАТУРОЙ окружающих тел, т.е.
f{N} = f{N}(X,a,T)
Казалось бы, что температуру можно включить в чило внеш-
них параметров, так как она характеризует среднюю интенсив-
ность теплового движения окружающих тел. Однако температура
играет особую роль в статистической теории. Она является чисто
статистической характеристикой, не имеющей, в отличие от
остальных внешних параметров "a", аналога в механике. Это про-
является в том, что функция Гамильтона
H = H(X,a)
т.е. определяется значениями X и a, но не зависит от тем-
пературы.
Исходя из представления Гамильтониана системы и окружаю-
щих тел в виде суммы
H(X,X1) = H(X) + H1(X1) + Hint(X,X1)
Здесь первый член правой части - функция Гамильтона
рассмтариваемой системы, второй - окружающих тел, третий - оп-
ределяет взаимодействие рассмтариваемой системы с окружающими
телами. Учитывая малость отношения энергии взаимодействия к
энергии рассмтариваемой системы, для этого случая получают
распределение, которое носит название канонического распреде-
ления
H(X,a)
f{N}(X,a,T) = C* exp - ---------
k{b}*T
Константа C определяется условием нормировки
INT f{N}(X)dX = 1,то есть
1 H(X,a)
--- = Z(a,T) = INT exp ( - -------- ) dX
С V k{b}*T
Функция Z(a,T) назвается классическим статистическим ин-
тегралом.
Возможно также использование другой записи канонического
распределения Гиббса:
F(a,T) - H(X,a)
f{N}(X,a,T) = exp -----------------
k{b}*T
Функция F(a,T) есть свободная энергия, и она связана со
статистическим интегралом соотношением
F(a,T) = - k{b}*T* ln Z(a,T)
Шаг 4.
Из канонического распределения Гиббса получают распреде-
ления Максвелла для нерелятивистского случая, полагая, что
что кинетическая энергия движения частиц опредялется класси-
ческим соотношеним вида p^2/2*m и для релятивистского случая,
полагая справедливость соотношения для энергии
E^2/c^2=m^2*c^2+p^2.
Таким образом для получения распределения Максвелла при-
ходится сделать следующие допущения:
- допускается определение функции распределния мик-
росостояний через понятия об ансамблях Гиббса;
- предполагается, что находится в равновесном состоянии,
то есть функция распределения f{N}(X,t) не зависит от времени;
- предполагается, что система "слабо" взаимодействует с
окуражающими телами и это взаимодействие можно описать с
помощью температуры, характеризующей среднюю интенсивность
теплового движения окружающих тел;
- вводить опеределенный вид зависимости для энергии, что-
бы получить соотвествующее ей распределение.
>
> Вот тут и всплывает вопрос о зависимости массы от скорости. В самом деле,
> если в формуле заменить m на gamma*m, то получается вполне осмысленный
> результат.
Последовательный релятивизм использует тот факт, что распределние
Гиббса выведено для энергии и соотношение для энергии в СТО.
Использование зависимости массы от скорости, даже не упонимая, что
это противоречит сути СТО, здесть просто не требуется с неотвратимой
необходимостью. Я думаю выше это должно будет видно.
> --
> Eugine Kosenko
>
> e-mail: eugine@kosenko.pp.kiev.ua
> http: http://meltingpot.fortunecity.com/poland/623
> phone: 380-44-519-64-51
>
Георгий