From: "Georgiy Zaretskyi"
Newsgroups: relcom.sci.philosophy
Subject: Re: Механика, измерения и ... энергия! ;)
Date: 27 Jan 1999 13:14:57 +0300
Добрый день!
В Вашем письме от
> Re: Измерения, механика и ...
> Author: Eugine V. Kosenko
> Date: 1999/01/23
> Forum: relcom.sci.philosophy
в качеcтве одного из вопросов ставилась, фактически задача
сравнения механик на основе пониятия "cилы" - механика Ньютона
и механики на основе понятия энергетических понятий, собственно
самой энергии, лагранжианов, гамильтонианов.
Подумал, что может быть мне удастся хотя бы сделать первый шаг
в этом направлении, попытавшись понять логику введения необходимых
понятий.
Механика Ньютона.
-----------------
Что мы имеем. Имеем три закона Ньютона, и положение о суперпоции
вектора силы, которое иногда рассматривают как четвертый закон Ньютона.
Первый и второй закон справедливы для инерциальных систем отсчета.
Распространение его на неинерциальные системы отсчета оказалось
возможным за счет: во-первых сохранения формы записи этого закона и,
во-вторых, за счет введения функциональной зависимости силы от
скорости и координаты, в третьих за счет введения этой зависимости
для всех тел, входящих в систему тел. Но это уже получается не
совсем тот, закон Ньютона. Интересен так же следующий исторический
" Закону P = m*w, который называют также основным уравнением механики,
такую форму придал Эйлер, в своем трактаке "Мехакника" (1736).
У Ньютона это заокн выражался следующим соотношением:
P*(t-t0) = m*(v-v0).
Эйлер путем деления обеих частей равентсва на dt = t-t0 и перехода
к пределу получил
v - v0
P = m* lim -------- = m*w "
dt->0 t - t0
Кроме того, "Ньютон определял массу тела как количество материи.
По Эйлеру, массой тела, или количеством материи, называется величина
заключенная в теле инерции, вследствии которой тело стремится сохранить
свое состояние и противодействовать всякому изменению"
(Отсюда, как можно заметить, не далеко до принцип Германа-Эйлера-Даламбера,
который можно рассматривать как более первичный момент, чем даже
второй закон Ньютона, но но-вопервых, позволяющий получить уравнения
по форме, напоминающей второй закон Ньютона, но справедливый не
только в инерциальных системах отсчета.)
Третий закон - справедлив для любых систем отсчета. И четвертый закон,
или закон независимости действия сил, еще я его назваю принципом
суперпозиции для сил, считается справедливым для любых систем отсчета.
Таким образом либо мы может использовать механику Ньютона в
первозданном виде, но способную решать достаточно ограниченное
количество задач, с ограниченым количеством тел (одно, два, максимум
три), которые движутся в инерциальных системах отсчета. Либо
идем на неизбежное обобщение - и уже его считаем истинным
вторым законом Ньютона, не совсем то, что первоначально вводил
Ньютон. (Применение механики Ньютона, без предварительного
рассмотрения преобразований координат от инерциальной системы
отсчета к неинерциальным не возможно. Именно интерпретация
дополнительных членов являющихся следствием преобразований,
при переходах от инерциальных систем отсчета к неинерциальным,
в терминах дополнительных сил, толкали мысль исследователя
произвести обобщение второго закона Ньютона до вида,
позволяющего охватывать максимальное количество, практически
важных случаев. Но, повторюсь - это уже не совсем тот второй
закон Ньютона). Таким образом, все равно, потребовалось обобщение,
потом сравнение полученных результатов расчета с результатами из
практики, и осмысления того, в какой степени принятые обощения
были правильными, в каком неправильными. С моей точки зрения
главное достижение механики Ньютона состоит во введении и
разработке понятия силы.
Механика Лагранжа-Гамильтона
----------------------------
Насколько я могу судить, как только перед исследователями
стали задачи анализа несвободных систем, то тогда и появились
первые признаки деления, которые сейчас заставляют нас вести
дебаты о "наиболее мощном" подходе. (Мне прийдется давать
по ходу некоторые определения, именно с целью, четкого
изложения своей позиции. Я буду выделять скобочками "< >" и писать
заголовок "Определения и информация". )
< Определения и информация
------------------------
Несвободной системой называют систему из N частиц координаты
которых и скорости которых, в произвольный момент времени, связаны
определенными условиями. В этом случае говорят, что на систему
наложены связи. Согласно определению, введенному Г.Герцем, связи
назваются голономными, если уравнения связи зависят только от
времени и координат. Голономные связи, ограничивающие положения
частиц, реализуются макроскопическими недеформируемыми
конструкциями: оболочками, стержнями, плоскостями и т.д. >
/// К стати возникла мысль, а эти голономные связи, не есть те же
"жесткие связи", о которых у Герца идет речь во "Ведении ....".
Хотя там ОТ РЕДАКЦИИ сообщается, что Герц еще занимался и задачами
с неголономными связями.
Виктор Николаевич, а что там далее в работе Герца, по поводу связей?
Что такое "жесткие связи" у Герца? Как математически Герц решает
вопрос с солнечной системой. В книге по аналитической механике
солнечная система приводится как классический пример свободной
системы. А Герц как этот вопрос трактует? ////
Итак перед механиками встала задача описание динамики несвободных
систем. Возможная логика действий может быть представлена таким
образом (конечно это не означает, что такой же была историческая
логика):
1) имеет место принцип Германа-Эйлера-Даламбера, при
помощи которого уравнениям динамики по форме придается вид
уравнений статики.
2) для несвободной механической системы применим
принцип освобождаемости от связей. По этому принципу имеющиеся связи
отбрасываются, и их действие заменяется соотвествующими реакция
связей (силами)
3) Для несвободной системы этот принцип Германа-Эйлера-Даламбера
принимает вид " в любой момент времени геометрическая сумма равнодействующих
задаваемых сил, равнодействуюшей реакции связей и силы инерции для каждой
материальной точки несвободной механической системы равна нулю".
4) Пусть система получает возможные перемещения.
Из принципа Германа-Эйлера-Даламбера получается соотношения для
виртуальных работ. Положим, что все связи в рассматриваемой
механической системе двустронние и идеальные, тогда из соотношения
для виртуальных работу получается, так называемое общее уравнение
динамики.
Общее уравнение динамики принимается в качестве ОСНОВНОГО
ПРИНЦИПА МЕХАНИКИ.
Из общего уравнения динамики, дополняя его уравнениями
голономных связей и используя метод неопределенных
множителей Лагранжа можно получить так назваемые уравнения Лагранжа
первого рода, которые позволяют, если это необходимо по условиям
задачи найти реакции связей. (В то время как при получении
общего уравнения динамики они сразу исключались).
Однако практическое использование подобных уранений в системах
с большим количеством точек затруднительно, число получаемых
уравнений в систем очень велико.
Можно обобщить вывод для случая связей часть из которых
является голономными, а часть неголономными, но линейными по
скоростям. Получится обобщенный вариант уравнений Лагранжа
первого рода на случай голономных и неголономных связей,
линейных по скоростям. "Наиболее рациональный подход к
исследованию полученной системы уравнений состоит в замене
декартовых координат независимыми координатами". Однако, в
целом этот метод решения оказался очень громоздким.
"По этой причине желаиельно с самого начала иметь уравнения,
описывающие систему в терминах независимых координат.
Впервые этот подход был предложен Жозефом Луи Лагранжем в
в 1788 в его выдающемся труде "Аналитическая механика" "
Некоторые из независимых координат могут быть безразмерными,
то независимые координаты называют обобщенными координатами.
Когда же речь зашла о построении уравнений несвободных
механических систем в обощенных координатах, тогда и появилась
необхобходимость вести речь о выражениях для кинетической и
потенциальной энергиях системы. Оказалось, что "при составлении
уравнений движения в обобщенных координатах обычно приходится
пользоваться выражениями кинетической и потенциальной энергий
системы"
Таким образом, переход от понятия "сила", к понятию
"энергии" было лишь требованием практического решения механических
задач для несвободных систем. Если в свободных системах понятие
энергии было излишним украшательством, то в системах несвободных -
это понятие стало жизненно необходимым. Понятие силы правда
небыло окончательно изжито, но оно уже имело не центральное, а
вспомогательное значение, входя в теорию четырез понятие обобщенной
силы.
5) Введение обобщенных координат требует осознания и использования
понятия "'энергия" и позволяет получить:
5.1) уравнения Лагранжа второго рода, как минимум тремя способами:
- из общего уравнения динамики
- из динамического уравнения для несвободной точки
- из принципа Гамильтона-Остроградского
Вместе этим вводятся в оборот понятия "обощенной энергии",
"обобщенной силы", "обобщенного импульса".
5.2) из общего уравнения динамики - получить интегральный
принцип Гамильтона-Остроградского, справедливый
для консервативынх и неконсервативных систем
6) Если же система относится к классу консервативных
систем, то принцип Гамильтона-Остроградского позволяет
получить принцип наименьшего действия, ввести функию Лагранжа,
как разницу между кинетической и потенициальной энергией,
выраженную в обобщенных координатах и ввести понятие действия
по Гамильтону.
Можно показать, что "из принципа наименьшего действия
можно получить уравнения движения, а из уравнений движения
- принцип наименьшего действия. Из этого следует, что принцип
может быть положен в основу механики ГОЛОНОМНЫХ КОНСЕРВАТИВНЫХ
СИСТЕМ"
7) Опираясь на функцию Лагранжа Гамильтон ввел в рассмотрение
функцию, которая носит имя функции Гамильтона. Оказалось, что
функция Гамильтона равна сумме потенциальной и кинетической энергии.
Кроме того, преобразование при помощи, которого была введена
функция Гамильтона носит название преобразования Лежандра и имеет
большую значимость для квантово-полевой теории.
8) Опираясь на определение и смысл функции Гамильтона
можно получить систему канонических уравнений или уравнений
Гамильтона, справедливую как для потенциальных, так и для
непотенциальных обобщенных сил ( последнее из уравнения
Лагранжа второго рода). Для случая потенциальных сил можно
получить уравнения Гамильтона непосредственно из определения
функции Гамильтона и принципа наименьшего действия.
ИТАК
----
- Общее уравнение динамики спаведливо для идеальных,
двусторонних связей;
- Уравнения Лагранжа первого рода справедливы для
идеальных, двусторонних, голономных и нелогононых,
линейных по скорости связей; Однако они выводятся
для декартовых координат и их сложно применять
- Уравнения Лагранжа второго рода справедливы для
идеальных, двусторонних, голономных и нелогононых,
линейных по скорости связей;
- Принцип Гамильтона-Остроградского, справедлив
для консервативынх и неконсервативных систем;
что касается связей то опосредовано от справедлив
для всех типов связи, что и уравнения Лагранжа
второго рода, но непосредственно эта терминалогия
для принципа излишня. Это уже энергетический
принцип.
- Принцип наименьшего действия справедлив для
голономных консервативных систем. Относительно
связей для него справедливо все, что сказано
относительно принципа Гамильтона-Остроградского.
(Иногда принцип наименьшего действия также назвается
принципом Гамильтона-Острогардского, но мы оставим
это наименование за более общим принципом)
Таким образом существует еще один путь построения механики:
ввести незвисимым образом принцип Германа-Эйлера-Даламбера,
и используя понятие силы построить вариант механики, на
основе общего уравнения динамики. Что же касается неидеальных
связей, то это можно рассматривать как следующие шаги в механике.
EK> Фокус в том, что механика вариации действия для своего основания
EK> требует механику силы (уж не отсюда ли растут ноги проблем
EK> обоснования квантовой механики? ;). Я не могу этого доказать, но
EK> впечатление складывается именно такое. Попробую заострить: могла ли
EK> механика вариации действия исторически возникнуть раньше, чем
EK> механика силы?
Думаю, нет. Концептуально сложно переходить к более абстрактным
понятиям. Но механика "силы" вынуждена была уступить механике "энергий",
так как в рамках механики "силы" возникли труднопреодолимые преграды.
То есть несвободные системы требовали слишком много сил для описания
и поиска решений. Причем львиная доля усилий шла на поиски сил реакций
связи. В механике - это, часто, просто излишне детальная информация,
которую часто неизвествно куда девать? Но и это еще полдела?
Часто непонятно - как ее вообще получить. Механика же "энергий" за счет
сужения класса рассматриваемых систем смогла двигаться дальше.
То есть систем с идельными связями. Это был шаг и практический
и концептуальный одновременно. Если же возникает потребность
рассмотрения систем с неидеальными связями, то разумно опять
начинать восхождение от понятия "силы". И это неизбежно.
Слишком большая "мощность" понятия "силы" оказалась избыточной.
В самом деле - чего из пушки палить по воробьям?
В этом смысле понятие "связи", которое как видно, может охватить
и понятие "силы", одновременно может оказаться еще более
"мощным" и "глубоким" понятием. Но ведь и исследователю нужно
научиться мыслить в рамках этих "общих" и "мощных" понятий.
История показывает, что понятие "силы" окалось слишком "мощным".
И без игры с понятием "энергия" думаю это трудно было бы
осознать. А может понятие "связи" еще более трудноосознаваемо?
>
> Эти вопросы отнюдь не праздные. Они связаны с современным стилем
> преподавания физики. Можно ли механику вариации действия изложить на
> уровне современного школьника 6-7 класса? Можно ли отказаться от
> того историзма, который мы наблюдаем в существующей методике?
Вопрос для меня неизвестный, но думаю, что надо ввести настоящий
историзм - а не этот кастрированный, суперпрямой. Надо показать
колебания мысли, поиски, находки, потери, разочарования...
А что это за логика - Ньютон сел и открыл закон? ....
> --
> Eugine Kosenko e-mail: root@kosenko.pp.kiev.ua
> phone: (044)519-64-51
>
Георгий