Indice

Origenes

Definición

Conjunto Difuso

Operaciones entre Conjuntos Difusos
- Interseccion
- Unión
- Complemento

La lógica difusa es una técnica de la inteligencia computacional que permite trabajar información con alto grado de imprecision, en esto se diferencia de la lógica convencional que trabaja con información bien definida y precisa.

El concepto de Lógica Difusa fue concebido por Lofti Zadeh un profesor de la Universidad de California en Berkley, quien inconforme con los conjuntos clásicos (crisp sets) que solo permiten dos opciones, la pertenencia o no de un elemento a dicho conjunto la presentó como una forma de procesar información permitiendo pertenencias parciales a unos conjuntos que en contraposición a los clásicos los denominó Conjuntos Difusos (fuzzy sets), el concepto de conjunto difuso fue expuesto por Lofti Zadeh en un paper hoy clásico en la literatura de la lógica difusa en el año de 1965, el artículo se titula "Fuzzy Sets" y fue publicado en la revista Information and Control. El mismo Zadeh publica en 1971 el artículo, "Quantitative Fuzzy Semantics", en donde Introduce los elementos formales que acabarían componiendo el cuerpo de la doctrina de la lógica difusa y sus aplicaciones tal como se conocen en la actualidad.

Pocos años despues en 1974, el Británico Ebrahim Mandani, demuestra la aplicabilidad de la lógica difusa en el campo del control. Desarrolla el primer sistema de control difuso (Fuzzy Control) práctico, la regulación de un motor de vapor. Las aplicaciones de la lágica difusa en el control no se pudieron ser implementadas con anterioridas a estos años debido a la poca capacidad de computo de los procesadores de esa época.

El profesor Zadeh menciona que la gente no requiere información numérica precisa del medio que lo redea para desarrollar tareas de control altamente adaptable por ejemplo conducir un automovil o caminar por una acera sin chocarse con los postes y las otras personas.Si los controladores convencionales, en esencia realimentados, se pudieran programar para aceptar entradas con ruido e imprecisas ellos podrían trabajar de una manera mas eficiente y quizas se podrian implementar mas facilmente. En Estados Unidos principalmente por razones culturales, el concepto de lógica difusa no tuvo mucho impacto mientras en oriente especificamente los Japoneses y algunos paises europeos aceptaron sin complicación esta idea y han estado desde la decada de los 80 construyendo aplicaciones reales y productos que funcionan basados en lógica difusa. Por ejemplo en 1986 Yamakawa publica el articulo, "Fuzzy Controller hardward system" y desarrolla controladores difusos en circuitos integrados. En 1987, se inaugura en Japón el subterraneo de Sendai, uno de los más espectaculares sistemas de control difuso creados por el hombre. Desde entonces el controlador inteligente ha mantenido los trenes rodando eficientemente. En 1987, "FUZZY BOOM", se comercializan multitud de productos basados en la lógica difusa (sobre todo en Japón).

QUE ES LA LOGICA DIFUSA

La logica difusa es una metodología que proporciona una manera simple y elegante de obtener una conclusión a partir de informacion de entrada vaga, ambigua, imprecisa, con ruido o incompleta, en general la lógica difusa imita como un persona toma decisiones basada en información con las caracteristicas mencionadas. Una de las ventajas de la logica difusa es la posibilidad de implementar sistemas basados en ella tanto en hardware como en software o en combinación de ambos.

CONJUNTOS DIFUSOS

El concepto clave para entender como trabaja la lógica difusa es el de conjunto difuso, se puede definir un conjunto difuso de la siguiente manera.

Teniendo un posible rango de valores al cual llamaremos U, por ejemplo U=Rn, donde Rn es un espacio de n dimensiones, a U se le denominara Universo de Discurso. En U se tendra un conjunto difuso de valores llamado F el cual es caracterizado por de una función de pertenencia uf tal que uf:U->[0, 1], donde uf(u) representa el grado de pertenencia de un u que pertenece a U en el conjunto difuso F.

Por ejemplo supongamos que se desea representar con conjuntos difusos la variable altura de una persona, en esta caso el universo de discurso será el rango de posibles valores de la altura que tenga un persona adulta, se escojerá un rango entre 140 cm y 200 cm, valores por fuera de este rango son posibles pero son muy escasos. El universo de discursoU = [140, 200], para denominar los conjuntos difusos se suelen trabajar con etiquetas linguisticas similares a las que se usan de manera coloquial por ejemplo, en la vida diaria decimos que una persona es Muy Baja (MB), Baja (B), Mediana (M), Alta (Alta) y Muy Alta (MA)

Figura No. 1 Conjuntos difusos para la altura de una persona

Si el ejemplo antrior se desea trabajar con conjuntos clásicos (crisp) se tienen dos opciones o alguien Alto (A) o Bajo (B). Se supondrá que alguien Alto si mide mas de 170cm es caso contrario es bajo

Figura No. 2 Conjuntos crips para la altura de una persona

OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS DIFUSOS

De manera similar a la que entre los conjuntos clásicos se realizan operaciones entre ellos, en conjuntos difusos se puede hacer lo mismo, pero debido a la naturaleza diferente de ellos la formulación de estas operaciones es algo especal.

En la figura 3, se muestran dos conjuntos difusos los cuales nos serviran para definir las operaciones fundamentales que entre ellos se pueden realizar.

Figura No. 3 Conjuntos difusos entre los se definirán las operaciones

Intersección.

La idea intuitiva de intersección herededa de los conjuntos clásicos expresa que el conjunto intersección de dos conjuntos A y B, se define como los elementos que estan en el conjunto A Y en el conjunto B; de esta manera la intersección entre conjuntos se puede entender como el una operación tipo AND entre los mismos.

Siguiendo esta idea, se podria graficar la intersección de los conjuntos difusos mostrados en la figura 3.

Figura No. 4 Interseccion entre dos conjuntos difusos

De manera similar a como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar el nivel de pertenencia de valor x= 4.5 a la intersección de los dos conjuntos difusos mostrados.

Figura No. 5 Cual es el valor de pertencia de x=4.5 a la interseccion de los conjuntos difusos A y B

Graficamente se que el valor x=4.5 tiene un nivel de pertenencia de 0.8 al conjunto A y de 0.2 al conjunto B, y el valor de pertenencia de x= 4.5 a la interseccion (zona sombreada) se desea expresar como una operacion entre estos valores se observa que de estos dos valores, el que "toca" la zona sombreada es el de 0.2 por lo que de manera intuitiva se puede afirmar que el valor de pertenencia del valor dado a la interseccion de los conjuntos A y B es el valor mínimo de los valores de pertenencia del dicho valor a los conjuntos de manera individual, de manera matemática lo anterior se puede expresar asi:

Unión.

La idea intuitiva de unión herededa de los conjuntos clasicos expresa que el conjunto unión de dos conjuntos A y B, se define como los elementos que estan en el conjunto A OR estan en el conjunto B. de esta manera la intersección entre conjuntos se puede entender como el una operacion tipo OR entre los mismos.

Siguiendo esta idea, se podría graficar la unión de los conjuntos difusos mostrados en la figura 3.

Figura No. 6 Union entre dos conjuntos difusos

De manera similar a como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar el nivel de pertenencia de valor x = 4.5 a la unión de los dos conjuntos difusos mostrados.

Figura No. 7 Cual es el valor de pertencia de x=4.5 a la union de los conjuntos difusos A y B

Graficamente se que el valor x=4.5 tiene un nivel de pertenencia de 0.8 al conjunto A y de 0.2 al conjunto B, y el valor de pertenencia de x= 4.5 a la unión (zona sombreada) se desea expresar como una operación entre estos valores se observa que de estos dos valores, el que "toca" la zona sombreada es el de 0.8 por lo que de manera intuitiva se puede afirmar que el valor de pertenencia del valor dado a la unión de los conjuntos A y B es el valor máximo de los valores de pertenencia de dicho valor a los conjuntos de manera individual, de manera matemática lo anterior se puede expresar asi:

Complemento.

En conjuntos clásicos se define el complemento como el conjunto de los elementoque le faltan a un conjunto para ser igual al conjunto universo.

De la misma manera en conjuntos difusos se habla del complemento como el conjunto formado por los valores de pertencias que le permitirían al conjunto obtener el valor máximo de pertenencia posible, siendo 1 el valor máximo de pertenencia que un conjunto difuso puede suministrar, este conjunto se podria formar restando le a 1 los valores de pertenencia del conjunto difuso al que se desea encontrar el complemento.

Graficamente esto se visualiza asi:

Figura No. 8 Complemento de un conjunto difuso

En la grafica anterior el conjunto complemento se ha dibujando con trazo negro. De manera similar a como se define el nivel de pertenencia a un conjuntos difuso, vamos a encontrar el nivel de pertenencia de valor x =6 al complemento del conjunto difusos A

Figura No. 9 Cual es el valor de pertencia de x=6 al complemento del conjunto difusos A

En x=6 se observa que el valor de pertenencia al conjunto A es de 0.8, si pensamos en el complemento como lo que le falta a esta valor para alcanzar el maximo valor posible se que es 1 se tendria que el nivel del pertencia de x=6 al complemento es de 0.2, el la grafica se puede verificar esta conclusion. Matematicamente esta operacion se expresa así:

Ultima modificación Mayo/12/2001